Математическая энциклопедия

"

0

C

F

G

H

K

L

N

P

S

T

W

Z

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

З

И

Й

К

Л

М

Н

О

П

Р

С

Т

У

Ф

Х

Ц

Ч

Ш

Э

Ю

Я

ПОТОК

, динамическая система с непрерывным временем,- динамическая система, определяемая действием аддитивной группы действительных чисел (или аддитивной полугруппы неотрицательных действительных чисел) на нек-ром фазовом пространстве W. Другими словами, каждому (каждому ) сопоставлено нек-рое преобразование , причем

При этом tобычно наз. "временем" и о зависимости S_tw от t(при фиксированном w).говорят как о "движении" точки S_tw;множество всех S_tw для данного wназ. траекторией w(нередко этот термин употребляется применительно к функции ). Как и для любых динамич. систем, обычно фазовое пространство наделено нек-рой структурой, и П. в каком-то смысле согласован с ней: преобразования S_t сохраняют эту структуру, накладываются определенные условия на характер зависимости S_tw от t.

В приложениях чаще всего встречаются П., описываемые автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений

(*).

или, в векторных обозначениях, . Непосредственное обобщение - поток на дифференцируемом многообразии W^m, определяемый ("порождаемый") заданным на W^m гладким векторным полем f(w).класса C^k, (гладкий поток класса С ^k). В этом случае движение точки S_tW, пока она находится в пределах одной карты (локальной системы координат), описывается системой вида (*), в правой части к-рой стоят компоненты вектора f(w).в соответствующих координатах. При переходе к другой карте описание движения меняется, поскольку при этом меняются как координаты точки S_tw, так и выражения для компонент вектора f(w).как функций локальных координат. См. также Измеримый поток, Непрерывный поток, Топологическая динамическая система.

П. образуют наиболее важный класс динамич. систем, к-рый к тому же первым начал изучаться. Термин "динамическая система" часто употребляют в узком смысле, понимая под ним именно П. (или П. и каскады). Д. В. Аносов.